Muzeum dopravy bylo založeno v roce 1952 jako jedna z prvních kulturních institucí NDR po druhé světové válce a jeho založení mělo přímou souvislost se zřízením vysoké školy dopravní. Kořeny muzea však sahají až do roku 1877. Do tohoto roku se datuje počátek sbírky pozdějšího Saského železničního muzea (od roku 1902). To sídlilo nejprve na ulici Wiener Straße a od roku 1921 pak v nádraží Dresden-Neustadt.
Budova Johanneum na náměstí Neumarkt, silně poničená bombovými útoky v roce 1945, byla Muzeu dopravy přiřknuta jako výstavní budova v roce 1954. Tato dnes památkově chráněná renesanční budova z roku 1586 je od svého vzniku spojena s dopravou – sloužila totiž kdysi saskému dvoru jako stáje.
U příležitosti oslavy 750. výročí města Drážďan zde byla v roce 1956 zahájena první výstava s názvem „120 let historie saské dopravy“. Budova Johanneum se postupně obnovovala a stejně tak se postupně zřizovaly stálé expozice. V roce 1958 byla otevřena železniční expozice, o rok později pak následovala expozice historie lodní dopravy.
Dnes spojuje Muzeum dopravy pod jednou střechou expozice ke čtyřem dopravním odvětvím, tedy silniční, železniční, letecké a lodní dopravě. K tomu je připojena plocha pro speciální výstavy a zážitkový prostor pro děti. Expozice o letecké, silniční, lodní dopravě a železniční dopravy jsou od roku 2012 kompletně přepracovány.
Muzeum dopravy je od roku 2006 veřejně prospěšnou společností s ručením omezeným. Jednateli jsou Město Drážďany a Společnost na podporu Muzea dopravy (Gesellschaft zur Unterstützung des Verkehrsmuseum).
