Muzeum Transportu zostało stworzone po II wojnie światowej, w 1952 roku. Było jedną z pierwszych placówek kulturalnych w NRD bezpośrednio powiązaną z utworzeniem Hochschule für Verkehrswesen (Szkoły Wyższej Transportu). Jego korzenie sięgają jednak 1877 r. Na ten rok datuje się początek kolekcji powstałego później (od 1902 r.) Saksońskiego Muzeum Kolejnictwa. Muzeum mieściło się na początku przy Wiener Straße, a następnie od 1921 r. na Dworcu Dresden-Neustadt.
Zniszczony w wyniku nalotów bombowych w 1945 r. budynek Johanneum przy Neumarkt stał się siedzibą Muzeum Transportu w 1954 r. Znajdujący się dzisiaj pod ochroną konserwatora zabytków, renesansowy budynek z 1586 r. był związany z transportem od samego początku, ponieważ służył kiedyś saksońskiemu dworowi jako stajnia.
W 1956 r., z okazji 750-lecia Drezna, otwarto pierwszą ekspozycję pod tytułem „120 lat historii transportu w Saksonii.” Wraz z odbudową Johanneum tworzono kolejne wystawy stałe. W 1958 r. udostępniono wystawę dot. transportu kolejowego, a rok później wystawę dot. żeglugi.
Obecnie Muzeum Transportu prezentuje pod jednym dachem wystawy o czterech rodzajach transportu: wodnym, powietrznym, kolejowym i drogowym. Dodatkowo jednostka dysponuje powierzchnią przeznaczoną na wystawy czasowe oraz przestrzenią wyposażoną w atrakcje dla dzieci. W 2012 r. ekspozycje dot. lotnictwa, transportu drogowego, żeglugi i transportu kolejowegoi zostały całkowicie zmodyfikowane.
Od 2006 r. Muzeum Transportu jest sp. z o.o. o charakterze non-profit prawa niemieckiego. Udziałowcami są Miasto Drezno oraz Towarzystwo Wspierania Muzeum Transportu (Gesellschaft zur Unterstützung des Verkehrsmuseums).
